viernes, 20 de marzo de 2015

Trigonometría

     Hola! la Trigonometria es un tema extenso, por suerte, hemos hecho un resumen sobre lo MÁS IMPORTANTE y básico que debes saber para dar inicio y aprender sobre este tema, como podrás ver, más abajo habrán unos conceptos lo MÁS resumido y concreto posible para facilitarte el aprendizaje.

¿Qué es la trigonometría? 

     La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es la medición de los triángulos. Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno 'triángulo' y μετρον metron medida.
   
     En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente,cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de lageometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
   
      Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas enastronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.


El Seno (sen): es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

El Coseno (cos): es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa.

La Cosecante (csc o cosec): es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo.

La Secante (sec): es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo.

La Cotangente (cot o cta): es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo.

La Tangente (tan o tg): es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.


Información extra:


Un cateto: es cualquiera de los dos lados menores de un triángulo rectángulo los que conforman el ángulo recto (Un ángulo recto es aquel que mide 90°).

La hipotenusa:
 es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto. La medida de la hipotenusa puede ser hallada mediante el teorema de Pitágoras.Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°).  La denominación de catetos e hipotenusa se aplica a los lados de los triángulos rectángulos exclusivamente. 

Teorema: proposición que puede ser demostrada (Hipótesis + Tesis).

Teorema de Pitágoras: "En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

jueves, 19 de marzo de 2015

ÁNGULOS NOTABLES

ángulo (grados) 30 45 60 90 











ángulo (radianes) PI/6PI/4PI/3PI/2











sen(a)(0/4)(1/4)(2/4)(3/4)(4/4)











cos(a)(4/4)(3/4)(2/4)(1/4)(0/4)











tan(a)(0/4)(1/3)(2/2)(3/1)(4/0)












FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES Los ángulos notables son: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. Sus funciones trigonométricas se obtienen por métodos geométricos. No daremos aquí las demostraciones sino que simplemente mostramos un cuadro de sus valores.

 Teniendo en cuenta que 0° y 90°, 30 y 60° son complementarios y que 45° es complemento de sí mismo, la columna correspondiente a la función coseno, es la del seno escrita en forma inversa. Para las demás funciones, se utilizan las relaciones entre las funciones de un mismo ángulo.
Razones o Funciones Trigonometricas

  • Seno
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.


Se denota por sen B.


  • Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.

  • Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B.

  • Cosecante 

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.

  • Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.

  • Contangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.

      Razones trigonométricas en una                             circunferencia



   

    Signo de las razones trigonométricas



       Tabla de razones trigonométricas



Relaciones entre las razones trigonométricas



Relaciones entre las razones trigonométricas               de algunos ángulos






Razones trigonométricas de la suma y                       diferencia de ángulos



 Razones trigonométricas del ángulo doble



Razones trigonométricas del ángulo mitad



Transformaciones de sumas en productos



Transformaciones de productos en sumas





Información sacada gracias a: http://www.aritor.com/trigonometria/razones_trigonometricas.html



















Ley del seno y coseno



Esquema


El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las  funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a
Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:




El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

           

a2 = b2 + c2 − 2bc * cos(A)

b2 = a2 + c2 − 2ac * cos(B) 

c2 = a2 + b2 − 2ab * cos(C)

Fórmulas trigonométricas




Fórmulas trigonométricas

Ecuaciones trigonométricas


Ejemplos de ecuaciones trigonométricas.

Ejercicios


Ejercicios fórmulas trigonométricas


     Los triángulos son figuras que tienen tres lados y tres ángulos.

Clasificación según sus lados:

                         

                              
                         Isósceles: Posee dos lados iguales y uno diferente.






 Equilátero: Tiene sus tres lados iguales.






 Escaleno: Sus tres lados son diferentes.




Triángulo rectángulo




En geometría, se llama triángulo rectángulo aun polígono de tres lados que tiene uno de sus ángulos recto (α=90º). Los dos ángulos menores (β y γ) suman 90º.

Los elementos de un triángulo rectángulo son: los dos costados contiguos al ángulo recto, a y b (cada uno de ellos es un cateto), y el lado mayor c, opuesto al ángulo recto, que es la hipotenusa.

Hay dos tipos de triángulo rectángulo:
Triángulo rectángulo isósceles

Un ángulo recto
Otros dos ángulos iguales de 45°
Dos lados iguales



Triángulo rectángulo escaleno

Un ángulo recto

Otros dos ángulos distintos
No hay lados iguales





Sistema de conversión
(Grado a radianes o viceversa)

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:


Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.


Por último, vamos a compartir dos fórmulas prácticas y un par de ejemplos.
  • Si queremos convertir de radianes a grados, vamos a utilizar la siguiente fórmula:



Ejemplo: si te piden convertir 4,36 radianes a grados, la operación será: 180 (4,36) y luego dividido por 3,1416. El resultado será 249,8090145, que convertido serán 249º 48’32”.

  • Si queremos convertir de grados a radianes, vamos a utilizar la siguiente fórmula:
Ejemplo: si te piden convertir 44º 47 ‘ a radianes, razonarás así:


60′ = 1º

47′ = x
Resolviendo esa regla de tres simple, obtienes x = 0,783333 que son los minutos expresados en grados, para sumarlos a los 44 que ya tienes y poder usar la fórmula anterior.
Entonces: harás 3,1416  * ( 44, 783333) dividido 180 y obtendrás 0,78 radianes.